2025 年考研数学（一） 第 11 题

幂指函数先化成 $e$ 的指数再用等价无穷小。识别信号：$x^x=e^{x\ln x}$，且 $x\to 0^{+}$ 时 $x\ln x\to 0$，故 $x^x-1\sim x\ln x$；分母中 $\ln (1-x)\sim -x$，代入后 $\ln x$ 上下约去，问题即化简。

本题考查极限计算（幂指函数与等价无穷小替换）。

当 $x\to 0^{+}$ 时，$x^x=e^{x\ln x}$，且 $x\ln x\to 0$，故 $x^x-1=e^{x\ln x}-1\sim x\ln x$；又 $\ln (1-x)\sim -x$。

于是
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^x-1}{\ln x\cdot \ln (1-x)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x\ln x}{\ln x\cdot (-x)}=-1.$$

故应填 $-1$。