2025 年考研数学（一） 第 12 题

只含 $\sin n\pi x$ 的级数对应奇延拓加周期延拓，其和函数 $S(x)$ 是周期为 $2$ 的奇函数；求某点值先用周期性/奇性把自变量移入基本区间，再用狄利克雷定理（间断点取左右极限平均）。识别信号：$-\frac{7}{2}$ 不在 $[0,1]$，先加周期 $2$ 的整数倍移回；若落到分段点则取跳跃处左右平均。

本题考查正弦级数（奇延拓）与狄利克雷收敛定理。

正弦级数的和函数 $S(x)$ 是把 $[0,1]$ 上的 $f(x)$ 先作奇延拓、再作周期为 $2$ 的周期延拓所得函数的傅里叶级数之和，故 $S(x)$ 是周期为 $2$ 的奇函数。

由周期性，$S\left(-\frac{7}{2}\right)=S\left(-\frac{7}{2}+4\right)=S\left(\frac{1}{2}\right)$。

$x=\frac{1}{2}$ 是 $f$ 的跳跃间断点，$f\left({\frac{1}{2}}^{-}\right)=0,f\left({\frac{1}{2}}^{+}\right)=\frac{1}{4}$。由狄利克雷收敛定理，
$$S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left[f\left({\frac{1}{2}}^{-}\right)+f\left({\frac{1}{2}}^{+}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(0+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}.$$

故 $S\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{1}{8}$。