2025 年考研数学（一） 第 13 题

方向导数等于梯度与单位方向向量的点积，即各偏导乘对应方向余弦再求和。识别信号：题目给了方向 $\mathbf{n}=(2,2,-1)$，先把它单位化得方向余弦，再算 $u$ 在给定点的三个偏导，作点积即可，无需其它工具。

本题考查方向导数的计算。

$\mathbf{n}=(2,2,-1)$ 的方向余弦为 $\cos \alpha =\cos \beta =\frac{2}{\sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{3}$，$\cos \gamma =\frac{-1}{3}$。

各偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}=y^2{z}^3,\frac{\partial u}{\partial y}=2xy{z}^3,\frac{\partial u}{\partial z}=3x{y}^2{z}^2$，在点 $(1,1,1)$ 处分别为 $1,2,3$。

故
$$\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}{|}_{(1,1,1)}=1\times \frac{2}{3}+2\times \frac{2}{3}+3\times \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-1=1.$$

故应填 $1$。