2025 年考研数学（一） 第 14 题

非闭曲线的第二类曲线积分，若 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ 简单，考虑补一段线使回路闭合、用格林公式，再减去补线上的积分。识别信号：$L$ 是不闭合的抛物线弧，而 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-1=1$ 很简单，沿 $x$ 轴补线段成闭区域最省事，且补线上 $y=0,dy=0$ 积分易算。

本题考查第二类曲线积分（补线后用格林公式）。

补有向线段 $L_1$：沿 $x$ 轴从 $(-1,0)$ 到 $(1,0)$，则 $L+L_1$ 为闭区域 $D=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,0\le y\le 1-x^2\}$ 的正向边界。记 $P=y+\cos x,Q=2x+\cos y$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-1=1$。由格林公式，
$${\oint }_{L+L_1}Pdx+Qdy={\iint }_{D}1d\sigma ={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=\frac{4}{3}.$$

在 $L_1$ 上 $y=0,dy=0$，故
$${\int }_{L_1}(y+\cos x)dx+(2x+\cos y)dy={\int }_{-1}^1\cos xdx=2\sin 1.$$

于是
$${\int }_L={\oint }_{L+L_1}-{\int }_{L_1}=\frac{4}{3}-2\sin 1.$$

故应填 $\frac{4}{3}-2\sin 1$。