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2025 年考研数学（一） 第 15 题
填空题 · 5 分
设矩阵 ，若方程组 与 不同解，则 ______.
提示 1
的解必是 的解；两者不同解意味着后者的解更多。提示 2
想一想：若 可逆会怎样？由此把『不同解』翻译成关于 的一个条件。提示 3
令该行列式等于所得的值，用行变换（如 ）化简后解出 的关系。答案与详解
答案
思路（为什么这么做）
的解一定是 的解；两者『不同解』意味着 的解更多，等价于 不可逆即 。识别信号：抓住『同解当且仅当 可逆』这一等价，把条件转成 ，再算行列式解出 的关系。
解答
本题考查齐次线性方程组解的关系与行列式的计算。
的解恒为 的解。若二者不同解，则 有非 的解，从而 不可逆（否则 均可逆，两方程组都只有零解，必同解），即 。
计算行列式，作 ：
由 得 ，即 。
故应填 。
的解恒为 的解。若二者不同解，则 有非 的解，从而 不可逆（否则 均可逆，两方程组都只有零解，必同解），即 。
计算行列式，作 ：
由 得 ，即 。
故应填 。