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2025 年考研数学（一） 第 16 题
填空题 · 5 分
设 为两个不同的随机事件，且 与 相互独立，已知 ，，则在 中至少有一个发生的条件下， 中恰好有一个发生的概率为 ______.
提示 1
设 ，用 与独立性 ，代入 公式列出关于 的方程。提示 2
解方程时注意概率必须落在 ，舍去不合理的根。提示 3
『恰好一个发生』是『至少一个发生』的子事件，其概率 ；再按条件概率定义相除。答案与详解
答案
思路（为什么这么做）
先用独立性与 公式解出 ，再把『至少一个/恰好一个』用集合运算表达后代条件概率定义。识别信号： 加独立性 ，代入 得到关于 的二次方程；『恰好一个』是『至少一个』的子事件，故条件概率是二者概率之比。
解答
本题考查概率计算、事件的独立性与条件概率。
设 ，则 。由独立性 ，代入
即 ，，取 （舍去 ）。故 。
记事件 为“至少有一个发生”， 为“恰好有一个发生”，且后者是前者的子事件，
由条件概率，
故应填 。
设 ，则 。由独立性 ，代入
即 ，，取 （舍去 ）。故 。
记事件 为“至少有一个发生”， 为“恰好有一个发生”，且后者是前者的子事件，
由条件概率，
故应填 。