2025 年考研数学（一） 第 17 题

分母为一次式乘不可约二次式，用部分分式分解成 $\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+2}$。识别信号：$x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$ 判别式小于 $0$ 不可约，其积分要凑成『对数项加 $\arctan$ 项』，故把分子 $Bx+C$ 拆成『二次式导数的一半』加常数，两部分分别积分。

本题考查定积分的计算（有理函数积分，部分分式分解）。

设 $\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+2}$。通分比较系数得
$$A+B=0,-2A+B+C=0,2A+C=1,$$
解得 $A=\frac{1}{5},B=-\frac{1}{5},C=\frac{3}{5}$，故
$$\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{x-3}{x^2-2x+2}\right).$$

第一部分：${\int }_0^1\frac{dx}{x+1}=\ln (x+1){|}_0^1=\ln 2$。

第二部分：注意 $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$，且 $x-3=\frac{1}{2}(2x-2)-2$，于是
$${\int }_0^1\frac{x-3}{x^2-2x+2}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2-2x+2){|}_0^1-2\arctan (x-1){|}_0^1=-\frac{1}{2}\ln 2-2\left[0-\left(-\frac{\pi }{4}\right)\right]=-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi }{2}.$$

综合得
$${\int }_0^1\frac{dx}{(x+1)(x^2-2x+2)}=\frac{1}{5}\left[\ln 2-\left(-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi }{2}\right)\right]=\frac{1}{5}\left(\frac{3}{2}\ln 2+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{3\ln 2+\pi }{10}.$$