2025 年考研数学（一） 第 18 题

$g(x,y)=f\left(\frac{x}{y}\right)$ 只依赖 $u=\frac{x}{y}$，把各二阶偏导都用 $f^{\prime }(u),f^{\prime \prime }(u)$ 表出代入原等式，会化成关于 $u$ 的常微分方程。识别信号：代入后左边恰组合成 $u^2{f}^{\prime \prime }+u{f}^{\prime }$，而 $u^2{f}^{\prime \prime }+u{f}^{\prime }=u(u{f}^{\prime }{)}^{\prime }$ 可降阶两次积分；两个条件 $g(x,x)=1$、$\frac{\partial g}{\partial x}{|}_{(x,x)}=\frac{2}{x}$ 正好定两个积分常数。

本题综合考查多元复合函数求偏导与微分方程求解。

记 $u=\frac{x}{y}$。由链式法则，
$$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{y}{f}^{\prime }(u),\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}=\frac{1}{y^2}{f}^{\prime \prime }(u),$$
$$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y}=-\frac{1}{y^2}{f}^{\prime }(u)-\frac{x}{y^3}{f}^{\prime \prime }(u),\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}=\frac{2x}{y^3}{f}^{\prime }(u)+\frac{x^2}{y^4}{f}^{\prime \prime }(u).$$

代入所给等式并整理，$f^{\prime \prime }$ 项系数为 $\frac{x^2}{y^2}$，$f^{\prime }$ 项系数为 $\frac{x}{y}$，得
$$\frac{x^2}{y^2}{f}^{\prime \prime }(u)+\frac{x}{y}{f}^{\prime }(u)=1,\text{即}{u}^2{f}^{\prime \prime }(u)+u{f}^{\prime }(u)=1.$$

注意到 $u^2{f}^{\prime \prime }+u{f}^{\prime }=u(u{f}^{\prime }(u){)}^{\prime }$，故 $u(u{f}^{\prime }(u){)}^{\prime }=1$，即 $(u{f}^{\prime }(u){)}^{\prime }=\frac{1}{u}$。积分得 $u{f}^{\prime }(u)=\ln u+C_1$，即 $f^{\prime }(u)=\frac{\ln u+C_1}{u}$。

由 $\frac{\partial g}{\partial x}{|}_{(x,x)}=\frac{1}{x}{f}^{\prime }(1)=\frac{2}{x}$，得 $f^{\prime }(1)=2$，代入得 $C_1=2$，故 $f^{\prime }(u)=\frac{\ln u+2}{u}$。

再积分，
$$f(u)=\int \frac{\ln u+2}{u}du=\frac{1}{2}(\ln u{)}^2+2\ln u+C_2.$$
由 $g(x,x)=f(1)=1$ 得 $C_2=1$。

综上，$f(u)=\frac{1}{2}(\ln u{)}^2+2\ln u+1(u>0)$。