2025 年考研数学（一） 第 19 题

充要条件证明分两向。必要性：差商由拉格朗日中值定理化为 $f^{\prime }$ 在两点的值，再用 $f^{\prime }$ 严格增比较大小。充分性：把导数写成差商的单侧极限，用给定的差商不等式夹逼。识别信号：差商 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ 天生对应中值定理里的 $f^{\prime }(\xi )$，故必要性用中值定理最自然，充分性则反过来把导数还原成差商极限。

本题考查拉格朗日中值定理与导数的严格单调性，需分别证明必要性与充分性。

必要性。 设 $f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加。对任意 $x_1<x_2<x_3$，由拉格朗日中值定理，存在 ${\xi }_1\in (x_1,x_2),{\xi }_2\in (x_2,x_3)$ 使
$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^{\prime }({\xi }_1),\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=f^{\prime }({\xi }_2).$$
因 ${\xi }_1<x_2<{\xi }_2$，由 $f^{\prime }$ 严格增得 $f^{\prime }({\xi }_1)<f^{\prime }({\xi }_2)$，即所证不等式成立。

充分性。 设对任意 $x_1<x_2<x_3$ 均有该不等式成立。任取 $s<t\in (a,b)$，欲证 $f^{\prime }(s)<f^{\prime }(t)$。取一点 $x_0\in (s,t)$。

一方面，对 $s<x<x_0$，由条件 $\frac{f(x)-f(s)}{x-s}<\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}$，令 $x\to s^{+}$ 得
$$f^{\prime }(s)\le \frac{f(x_0)-f(s)}{x_0-s}.$$
另一方面，对 $x_0<y<t$，由条件 $\frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}<\frac{f(t)-f(y)}{t-y}$，令 $y\to t^{-}$ 得
$$\frac{f(t)-f(x_0)}{t-x_0}\le f^{\prime }(t).$$

又由条件（取 $s<x_0<t$）$\frac{f(x_0)-f(s)}{x_0-s}<\frac{f(t)-f(x_0)}{t-x_0}$。三式串联：
$$f^{\prime }(s)\le \frac{f(x_0)-f(s)}{x_0-s}<\frac{f(t)-f(x_0)}{t-x_0}\le f^{\prime }(t),$$
故 $f^{\prime }(s)<f^{\prime }(t)$。由 $s,t$ 的任意性，$f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加。

综上，充分性与必要性均成立，命题得证。