2025 年考研数学（一） 第 20 题

先定出旋转曲面方程（$z$ 轴绕方向 $(1,1,1)$ 的轴旋转得以原点为顶点的圆锥面 $xy+yz+zx=0$），再对不闭合曲面补一个平面圆盘成闭曲面用高斯公式，最后减去补面的积分。识别信号：向量场散度为常数 $3$，用高斯公式把曲面积分化为体积分（三倍体积）；补面选 $x+y+z=1$ 截得的圆盘，其上法向与 $dS$ 关系简单。

本题考查第二类曲面积分（补面后用高斯公式）与旋转曲面。

第一步：求 $\Sigma$ 的方程。 旋转轴为过原点、方向 $(1,1,1)$ 的直线，母线为 $z$ 轴，二者交于原点，因此 $\Sigma$ 是以原点为顶点、以 $(1,1,1)$ 为轴的圆锥面。这里旋转轴不是坐标轴，绕坐标轴旋转的换元规则用不上，应当用定角法：圆锥面上每条母线与轴所成的角都等于半顶角 $\alpha$。

由母线方向 $(0,0,1)$ 与轴方向 $(1,1,1)$ 得
$$\cos \alpha =\frac{|(0,0,1)\cdot (1,1,1)|}{1\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
设 $M(x,y,z)$ 为锥面上任一点，则 $\overrightarrow{OM}$ 与轴的夹角也是 $\alpha$，即
$$\frac{|x+y+z|}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$
于是 $|x+y+z|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。两边平方得 $x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2$，因此 $\Sigma$ 的方程为
$$xy+yz+zx=0.$$
它是二次齐次式，符合「顶点在原点的锥面方程必为齐次」这一特征。代入母线上的点 $(0,0,1)$ 得 $0$，确在曲面上；代入轴上的点 $(1,1,1)$ 得 $3\ne 0$，不在曲面上（轴在锥的内部），两项检验都通过。

${\Sigma }_1$ 为该锥面上满足 $0\le x+y+z\le 1$ 的一叶，顶点在 $x+y+z=0$ 处，上端被平面 $x+y+z=1$ 截断。

补平面片 ${\Sigma }_2$：即 $x+y+z=1$ 被 $\Sigma$ 所截得的圆盘，取上侧（法向量指向 $(1,1,1)$ 方向）。则 ${\Sigma }_1\cup {\Sigma }_2$ 构成圆锥体 $\Omega$ 的外侧闭曲面。记 $P=x,Q=y+1,R=z+2$，有 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=3$。

圆锥体 $\Omega$ 的底面圆心为直线 $x=y=z$ 与平面 $x+y+z=1$ 的交点 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$，底面半径为点 $(0,0,1)$ 到圆心的距离 $\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，高为原点到圆心的距离 $\sqrt{\frac{1}{3}}$，故体积 $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}\pi }{27}$。由高斯公式，
$${\iint }_{{\Sigma }_1\cup {\Sigma }_2}=3{\iiint }_{\Omega }dV=3V=\frac{2\sqrt{3}\pi }{9}.$$

在 ${\Sigma }_2$ 上（$x+y+z=1$，单位法向量方向余弦 $\cos \alpha =\cos \beta =\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{3}}$），
$${\iint }_{{\Sigma }_2}={\iint }_{{\Sigma }_2}\frac{1}{\sqrt{3}}(x+(y+1)+(z+2))dS=\frac{1}{\sqrt{3}}{\iint }_{{\Sigma }_2}(x+y+z+3)dS=\frac{4}{\sqrt{3}}{\iint }_{{\Sigma }_2}dS.$$
${\Sigma }_2$ 是半径 $\sqrt{2/3}$ 的圆盘，面积为 $\pi \cdot \frac{2}{3}=\frac{2\pi }{3}$，故 ${\iint }_{{\Sigma }_2}=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{8\sqrt{3}\pi }{9}$。

于是
$${\iint }_{{\Sigma }_1}={\iint }_{{\Sigma }_1\cup {\Sigma }_2}-{\iint }_{{\Sigma }_2}=\frac{2\sqrt{3}\pi }{9}-\frac{8\sqrt{3}\pi }{9}=-\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}.$$