2025 年考研数学（一） 第 21 题

(Ⅰ) 由『$1$ 是特征多项式的重根』把 $\lambda =1$ 代入特征多项式（或其二次因式）定出 $a$。(Ⅱ) 把 $A^2\alpha$ 用 $A(A\alpha )$ 展开，与所给 $A^2\alpha =\alpha +2\beta$ 比较，导出 $A\beta =\beta$，即 $\beta$ 是属于特征值 $1$ 的特征向量，再解 $(A-E)\alpha =\beta$。识别信号：$A^2\alpha$ 的两种表达相减能消去 $\alpha$，直接锁定 $\beta$ 满足的方程，是『先定 $\beta$ 再定 $\alpha$』的连环结构。

本题考查特征多项式（重根）与非齐次线性方程组的求解。

（Ⅰ） 计算特征多项式：
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& -2\\ 1& \lambda & -2\\ 1& 1& \lambda -a\end{array}\right|=(\lambda -1)[{\lambda }^2+(1-a)\lambda -a+4].$$
由 $1$ 是重根，$\lambda =1$ 是二次因式 ${\lambda }^2+(1-a)\lambda -a+4$ 的根，代入得 $1+(1-a)-a+4=6-2a=0$，故 $a=3$。（此时特征多项式为 $(\lambda -1{)}^3$，$1$ 为三重根。）

（Ⅱ） 由 $a=3$，$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ -1& 0& 2\\ -1& -1& 3\end{array}\right)$。由 $A\alpha =\alpha +\beta$ 得 $A^2\alpha =A(A\alpha )=A\alpha +A\beta =\alpha +\beta +A\beta$，与 $A^2\alpha =\alpha +2\beta$ 比较得 $A\beta =\beta$，即 $(A-E)\beta =0$。

$A-E=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 2\\ -1& -1& 2\\ -1& -1& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，故 $(A-E)x=0$ 的解为 $\beta =k_1(2,0,1{)}^{\mathrm{T}}+k_2(0,2,1{)}^{\mathrm{T}}$（$k_1,k_2$ 不全为零）。

又由 $A\alpha =\alpha +\beta$ 即 $(A-E)\alpha =\beta$，这是一个以 $\beta$ 为右端的非齐次方程组，未必对每个 $\beta$ 都有解，因此要先定出 $\beta$ 需满足什么条件。

把上面求得的 $\beta =(2k_1,2k_2,k_1+k_2{)}^{\mathrm{T}}$ 代入，增广矩阵为
$$(A-E\mid \beta )=\left(\begin{array}{cccc}-1& -1& 2& 2k_1\\ -1& -1& 2& 2k_2\\ -1& -1& 2& k_1+k_2\end{array}\right).$$
注意 $A-E$ 的三行完全相同，因此三个方程的左端一模一样，方程组相容当且仅当右端的三个数也相等：
$$2k_1=2k_2=k_1+k_2.$$
前一个等号给出 $k_1=k_2$，此时第三个数 $k_1+k_2=2k_1$ 自动与前两个相等。反之若 $k_1\ne k_2$，则前两行相减得 $0=2k_1-2k_2\ne 0$，$r(A-E)=1<2=r(A-E\mid \beta )$，方程组无解。所以只有 $k_1=k_2$ 时才有解。

此时 $\beta =k_1(2,0,1{)}^{\mathrm{T}}+k_1(0,2,1{)}^{\mathrm{T}}=2k_1(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}=k(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$（记 $k=2k_1\ne 0$）。方程组化为单个方程 $-{\alpha }_1-{\alpha }_2+2{\alpha }_3=k$，取 ${\alpha }_2={\alpha }_3=0$ 得特解 $(-k,0,0{)}^{\mathrm{T}}$（代回验证：$-(-k)-0+0=k$，正确）。

故所求非零列向量为
$$\alpha =c_1(2,0,1{)}^{\mathrm{T}}+c_2(0,2,1{)}^{\mathrm{T}}+(-k,0,0{)}^{\mathrm{T}},\beta =k(1,1,1{)}^{\mathrm{T}},$$
其中 $c_1,c_2$ 为任意常数，$k$ 为任意非零常数（保证 $\beta \ne 0$，从而 $\alpha \ne 0$）。