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2025 年考研数学（一）第 22 题

解答题 · 12 分

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额

Y

与投保人的损失额

X

的关系为

Y = {0, X - 100, X \leq 100, X > 100.

设损失事件发生时，投保人的损失额

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}}, 0, x > 0, x \leq 0.

（Ⅰ）求

P {Y > 0}

及

E (Y)

；
（Ⅱ）这种损失事件在一年内发生的次数记为

N

，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为

M

。假设

N

服从参数为

8

的泊松分布，在

N = n (n \geq 1)

的条件下，

M

服从二项分布

B (n, p)

，其中

p = P {Y > 0}

，求

M

的概率分布.

提示 1

(Ⅰ)

P {Y > 0}

就是

P {X > 100}

，对密度在

(100, + \infty)

上积分；

E (Y) = \int_{100}^{+ \infty} (x - 100) f (x) d x

，可令

u = 100 + x

化简。

提示 2

(Ⅱ) 这是『

N

服从泊松、给定

N = n

时

M \sim B (n, p)

』的复合，先写联合概率

P {M = k, N = n} = P {N = n} \cdot C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

。

提示 3

用全概率公式对

n

（从

k

到

\infty

）求和，令

j = n - k

，把关于

j

的级数凑成指数级数

\sum \frac{( \cdot ) ^{j}}{j !} = e^{(\cdot)}

，即可看出

M

的分布类型。

答案与详解

答案（Ⅰ） $P {Y > 0} = \frac{1}{4}$ ， $E (Y) = 50$ ；（Ⅱ） $M$ 服从参数为 $2$ 的泊松分布， $P {M = k} = \frac{2 ^{k} e ^{- 2}}{k !} (k = 0, 1, 2, \dots)$

思路（为什么这么做）

(Ⅰ)

P {Y > 0} = P {X > 100}

直接对密度积分；

E (Y)

用

Y = X - 100 (X > 100)

对密度积分（可令

u = 100 + x

化简）。(Ⅱ) 『

N

服从泊松、给定

N = n

时

M \sim B (n, p)

』是泊松复合二项的经典结构：用全概率对

n

求和，级数凑成指数展开，结果

M

仍是泊松。识别信号：对

n

求和时

\frac{6 ^{n - k}}{( n - k )!}

之和给出

e^{6}

，与

e^{- 8}

合并即暴露出

M

的泊松参数。

解答

本题综合考查随机变量函数的分布与数学期望、条件分布与全概率公式（泊松分布的复合）。

（Ⅰ）

P {Y > 0} = P {X > 100} = \int_{100}^{+ \infty} \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}} d x = - \frac{10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{2}}_{100}^{+ \infty} = \frac{10 0 ^{2}}{20 0 ^{2}} = \frac{1}{4} .

E (Y) = \int_{100}^{+ \infty} (x - 100) \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}} d x

。令

u = 100 + x

，则

E (Y) = 2 \times 10 0^{2} \int_{200}^{+ \infty} (\frac{1}{u ^{2}} - \frac{200}{u ^{3}}) d u = 2 \times 10 0^{2} (\frac{1}{200} - \frac{1}{2 \times 200}) = 2 \times 10 0^{2} \cdot \frac{1}{400} = 50.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知

p = \frac{1}{4}

。

N \sim P (8)

，即

P {N = n} = \frac{8 ^{n} e ^{- 8}}{n !}

。当

N = 0

时必有

M = 0

；当

N = n (n \geq 1)

时

M ∣ N = n \sim B (n, p)

，故对

0 \leq k \leq n

，

P {M = k, N = n} = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} \frac{8 ^{n} e ^{- 8}}{n !} = \frac{6 ^{n - k} 2 ^{k} e ^{- 8}}{k ! ( n - k )!} .

对任意

k = 0, 1, 2, \dots

，由全概率公式并令

j = n - k

，

P {M = k} = n = k \sum \infty \frac{6 ^{n - k} 2 ^{k} e ^{- 8}}{k ! ( n - k )!} = \frac{2 ^{k} e ^{- 8}}{k !} j = 0 \sum \infty \frac{6 ^{j}}{j !} = \frac{2 ^{k} e ^{- 8}}{k !} e^{6} = \frac{2 ^{k} e ^{- 2}}{k !} .

故

M

服从参数为

2

的泊松分布，即

P {M = k} = \frac{2 ^{k} e ^{- 2}}{k !}, k = 0, 1, 2, \dots .

考点：边缘分布与条件分布、随机变量函数的分布、数学期望

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