2025 年考研数学（一） 第 5 题

正惯性指数等于标准形中正平方项的个数，最快用配方法（拉格朗日配方）或看对称矩阵特征值的符号。识别信号：只有 $x_1^2$ 带平方项且交叉项 $2x_1{x}_2,2x_1{x}_3$ 都含 $x_1$，天生适合先对 $x_1$ 配方，一步消去全部交叉项。

本题考查二次型的正、负惯性指数（配方法或特征值法）。

配方法。 对含 $x_1$ 的项配方：
$$f=x_1^2+2x_1(x_2+x_3)=(x_1+x_2+x_3{)}^2-(x_2+x_3{)}^2.$$
令 $y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2+x_3,y_3=x_3$，这是可逆线性变换，在此变换下 $f=y_1^2-y_2^2$。

标准形中有 $1$ 个正平方项、$1$ 个负平方项，故正惯性指数为 $1$。（亦可求对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ 的特征值为 $2,-1,0$，恰有一个正特征值。）

综上，应选 B。