2025 年考研数学（一） 第 4 题

交换二次积分次序的关键是画出并写清积分区域 $D$，再按新次序定内外限，而不是盯着被积函数。识别信号：原式先 $y$ 后 $x$，下界为抛物线 $y=4-x^2$、上界 $y=4$；换成先 $x$ 后 $y$ 时由 $y\ge 4-x^2$ 解得 $x$ 落在左右两段，故内层需拆成两块。

本题考查二次积分的交换次序（二重积分化为累次积分）。

原二次积分对应的积分区域为
$$D=\{(x,y)\mid 4-x^2\le y\le 4,-2\le x\le 2\},$$
即由抛物线 $y=4-x^2$（下边界）与直线 $y=4$（上边界）在 $[-2,2]$ 上围成的区域。

改为先对 $x$ 后对 $y$ 积分。对固定的 $y\in [0,4]$，由 $y\ge 4-x^2$ 得 $x^2\ge 4-y$，即 $x\le -\sqrt{4-y}$ 或 $x\ge \sqrt{4-y}$，又 $x\in [-2,2]$，故需将 $D$ 分块：
$$D=\{(x,y)\mid -2\le x\le -\sqrt{4-y},0\le y\le 4\}\cup \{(x,y)\mid \sqrt{4-y}\le x\le 2,0\le y\le 4\}.$$

于是
$${\int }_{-2}^{2}dx{\int }_{4-x^2}^{4}f(x,y)dy={\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f(x,y)dx+{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)dx\right]dy.$$
选项 D 相当于假设 $f$ 关于 $x$ 为偶函数（${\iint }_{D}f=2{\iint }_{D_1}f$，$D_1$ 为 $D$ 位于 $y$ 轴右侧部分），但题设无此条件，故 D 错。

综上，应选 A。