2025 年考研数学（一） 第 3 题

四个选项是四个蕴含命题，策略是『对正确的给证明、对错误的举反例』。识别信号：含 $\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{x}$ 的选项分母趋于 $+\infty$，是 $\frac{\infty }{\infty }$ 型可用洛必达；而『函数有极限』推不出『导函数有极限』是经典陷阱，需用带振荡的反例否定。

本题考查函数极限、导函数极限之间的关系以及洛必达法则的适用条件。

选项 D 正确。 当 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=L$ 存在时，$\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{x}$ 分母趋于 $+\infty$，对其用洛必达法则：
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{1}=L,$$
右端极限存在，故左端极限存在，D 正确。

选项 A、B 不成立（举反例）。 取 $f(x)=\frac{\sin x^2}{x}(x\ne 0),f(0)=0$，则 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$ 存在，但 $f^{\prime }(x)=2\cos x^2-\frac{\sin x^2}{x^2}$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 不存在，故 A 错。取 $f(x)=x$，则 $f^{\prime }(x)=1$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=1$ 存在，但 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ 不存在，故 B 错。

选项 C 不成立。 取 $f(x)=\cos x$，则 ${\int }_0^{x}f(t)dt=\sin x$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$ 存在，但 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\cos x$ 不存在，故 C 错。

综上，应选 D。