2025 年考研数学（一） 第 2 题

判断『条件/绝对收敛』要分两步：先看绝对值级数是否收敛（定绝对收敛），再看原级数本身是否收敛（定条件收敛）。识别信号：①中 $\sin \frac{n^3\pi }{n^2+1}$ 分子含 $n^3$，应把角度凑成 $n\pi$ 减一个小量，用 $\sin (n\pi -x)=(-1{)}^{n-1}\sin x$ 剥出符号；②是 $x-\tan x$ 型，自然想到用泰勒展开定阶。

本题考查级数敛散性的判别（绝对收敛与条件收敛）。 两个级数都是变号级数，需先对一般项作恒等变形或等价无穷小分析，再分别判断绝对值级数与原级数的收敛性。

级数 ①。 利用 $\sin (n\pi -x)=(-1{)}^{n-1}\sin x$，有
$$\sin \frac{n^3\pi }{n^2+1}=\sin \left(n\pi -\frac{n\pi }{n^2+1}\right)=(-1{)}^{n-1}\sin \frac{n\pi }{n^2+1},$$
故 $\left|\sin \frac{n^3\pi }{n^2+1}\right|=\sin \frac{n\pi }{n^2+1}$。

由 $\sin \frac{n\pi }{n^2+1}\sim \frac{n\pi }{n^2+1}\sim \frac{\pi }{n}(n\to \infty )$，与调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 同阶而发散，故 $\sum \left|\sin \frac{n^3\pi }{n^2+1}\right|$ 发散，级数 ① 不绝对收敛。又对正整数 $n$，$\frac{n\pi }{n^2+1}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 且关于 $n$ 单调递减趋于 $0$，故 $\sin \frac{n\pi }{n^2+1}$ 单调递减趋于 $0$。由莱布尼茨判别法，$\sum (-1{)}^{n-1}\sin \frac{n\pi }{n^2+1}$ 收敛。因此级数 ① 条件收敛。

级数 ②。 由 $\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)(x\to 0)$，取 $x=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}$ 得
$$\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\tan \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\sim -\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{n^2}(n\to \infty ).$$
其绝对值与 $\sum \frac{1}{n^2}$ 同阶而收敛，故级数 ② 绝对收敛。

综上，① 条件收敛，② 绝对收敛，应选 B。