2025 年考研数学（一） 第 1 题

极值点由一阶导数、拐点由二阶导数的行为决定，本题不必真正求出 ${\int }_0^x{e}^{t^2}dt$，只需在 $x=0$ 附近分析导数符号。识别信号：函数由变限积分构成、结论都落在 $x=0$，于是对 $f,g$ 各求一、二阶导（变限积分求导加乘积求导），再看它们在 $x=0$ 两侧的正负即可分别判定极值点与拐点。

本题考查极值点与拐点的定义。 对 $f,g$ 分别求一、二阶导数，判断它们在 $x=0$ 附近的符号即可。

分析 $f(x)$。 由变限积分求导，$f^{\prime }(x)=e^{x^2}\sin x$，
$$f^{\prime \prime }(x)=e^{x^2}\cos x+2x{e}^{x^2}\sin x=e^{x^2}(2x\sin x+\cos x).$$
于是 $f^{\prime }(0)=0$，$f^{\prime \prime }(0)=1>0$，由极值第二充分条件，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。又在 $x=0$ 附近 $2x\sin x\ge 0$、$\cos x>0$，故 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 恒成立、无变号，$(0,0)$ 不是 $y=f(x)$ 的拐点。

分析 $g(x)={\sin }^{2}x{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$。
$$g^{\prime }(x)={\sin }^{2}x{e}^{x^2}+\sin 2x{\int }_0^x{e}^{t^2}dt.$$
当 $x\in (-\delta ,0)$ 时 ${\int }_0^x{e}^{t^2}dt<0$ 且 $\sin 2x<0$，两项均为正，$g^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (0,\delta )$ 时同理 $g^{\prime }(x)>0$。故 $g$ 在 $x=0$ 两侧同为增，$x=0$ 不是 $g(x)$ 的极值点。

再看拐点：
$$g^{\prime \prime }(x)=2(\sin 2x+x{\sin }^{2}x)e^{x^2}+2\cos 2x{\int }_0^x{e}^{t^2}dt.$$
当 $x\in (-\delta ,0)$ 时该式 $<0$（$y=g$ 为凸），当 $x\in (0,\delta )$ 时 $>0$（$y=g$ 为凹），二阶导变号，故 $(0,0)$ 是 $y=g(x)$ 的拐点。

综上，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是 $y=g(x)$ 的拐点，应选 B。