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2023 年考研数学（一）第 5 题

选择题 · 5 分

已知

n

阶矩阵

A, B, C

满足

A B C = O

，

E

为

n

阶单位矩阵。记矩阵

(O B C A E), (A B O C E), (E A B A B O)

的秩分别为

r_{1}, r_{2}, r_{3}

，则（　　）

A $r_{1} \leq r_{2} \leq r_{3}$ .
B $r_{1} \leq r_{3} \leq r_{2}$ .
C $r_{3} \leq r_{1} \leq r_{2}$ .
D $r_{2} \leq r_{1} \leq r_{3}$ .

提示 1

三个分块矩阵都含单位块

E

，这是“用分块初等变换消元化简”的强烈信号，秩在初等变换下不变。

提示 2

充分利用条件

A B C = O

：对

M_{1}

用含

E

的那一行去消

A

，能把

A B C

逼出来化成零块。

提示 3

化简后三个秩分别只依赖

r (E)

、

r (A B)

、

r (A B A B)

；再用秩的基本不等式（非负性与

r (X Y) \leq r (Y)

）比较大小，不必求出具体矩阵。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

每个分块矩阵都带单位块，提示用初等变换消元、化成分块对角形。

M_{1}

借

A B C = O

塌成只剩

E

一块，

M_{2}

、

M_{3}

化对角块后秩分别落在

r (A B)

与

r (A B A B)

上。最后靠秩的两条基本性质（非负、

r (X Y) \leq r (Y)

）排出大小，全程避免具体数值。

解答

本题考查分块矩阵的初等变换与秩。 分块对角矩阵

(A O O B)

的秩等于

r (A) + r (B)

。对三个矩阵作初等变换化简。

记

M_{1} = (O B C A E), M_{2} = (A B O C E), M_{3} = (E A B A B O)

。

M_{1}

：第一行减去第二行左乘

A

，得

(- A B C B C O E) A B C = O (O B C O E)

，故

r_{1} = r (E) = n

。

M_{2}

：消去右上角得

(A B O O E)

，故

r_{2} = r (E) + r (A B) = n + r (A B)

。

M_{3}

：先用第一行消第二行、再用第一列消，得

(E O O - A B A B)

，故

r_{3} = r (E) + r (A B A B) = n + r (A B A B)

。

由

r (A B) \geq 0

知

r_{1} \leq r_{2}, r_{1} \leq r_{3}

；又

r (A B A B) \leq r (A B)

，故

r_{3} \leq r_{2}

。综上

r_{1} \leq r_{3} \leq r_{2}

，应选 B。

考点：分块矩阵、矩阵的秩、初等变换与初等矩阵

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