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2023 年考研数学（一）第 4 题

选择题 · 5 分

已知

a_{n} < b_{n} (n = 1, 2, \dots)

。若级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

与

n = 1 \sum \infty b_{n}

均收敛，则"

n = 1 \sum \infty a_{n}

绝对收敛"是"

n = 1 \sum \infty b_{n}

绝对收敛"的（　　）

A充分必要条件.
B充分不必要条件.
C必要不充分条件.
D既不充分也不必要条件.

提示 1

要判断充分/必要，通常两个方向分别验证；先从条件

a_{n} < b_{n}

里挖出一个正项级数。

提示 2

由

a_{n} < b_{n}

知

b_{n} - a_{n} > 0

，又两级数收敛

\Rightarrow \sum (b_{n} - a_{n})

是收敛的正项级数（即绝对收敛），这是打通两边的桥梁。

提示 3

用三角不等式把

∣ a_{n} ∣

、

∣ b_{n} ∣

用

∣ b_{n} - a_{n} ∣

和对方联系起来，再对两个方向各用一次正项级数比较判别法。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

看到“绝对收敛”的互推、且带有不等式

a_{n} < b_{n}

，就应想到构造正项级数

\sum (b_{n} - a_{n})

。它收敛是关键杠杆：借助

∣ a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} - a_{n} ∣ + ∣ b_{n} ∣

与

∣ b_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} ∣

，任一边绝对收敛都能推出另一边，于是两者等价。

解答

本题考查绝对收敛的概念与正项级数比较判别法。 由

a_{n} < b_{n}

知

\sum (b_{n} - a_{n})

为正项级数，又

\sum a_{n}, \sum b_{n}

均收敛，故

\sum (b_{n} - a_{n})

收敛（为收敛正项级数，即绝对收敛）。

由三角不等式：

∣ b_{n} ∣ = ∣ b_{n} - a_{n} + a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} ∣, ∣ a_{n} ∣ = ∣ a_{n} - b_{n} + b_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} - a_{n} ∣ + ∣ b_{n} ∣.

充分性： 若

\sum a_{n}

绝对收敛（

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛），由第一式及比较判别法知

\sum ∣ b_{n} ∣

收敛，即

\sum b_{n}

绝对收敛。

必要性： 若

\sum b_{n}

绝对收敛（

\sum ∣ b_{n} ∣

收敛），由第二式及比较判别法知

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛，即

\sum a_{n}

绝对收敛。

因此二者互为充要条件，应选 A。

考点：交错级数与绝对/条件收敛、正项级数的判别法、常数项级数的概念与性质

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