2023 年考研数学（一） 第 3 题

关键信号是 $|t|$ 造成分段，而 $t=0$ 对应 $x=0$ 是唯一可疑点。因是分段函数拼接，分界点处的导数必须回到定义用左右差商算；从低阶往高阶逐级比较左右极限是否一致，一旦某阶左右不相等，该阶导数就不存在，选项也随之确定。

本题考查由参数方程确定的函数的可导性与连续性。 先消去参数得 $f(x)$ 的显式分段表达式。

由 $x=2t+|t|=\{\begin{array}{ll}3t,& t\ge 0,\\ t,& t<0,\end{array}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调增，反函数为 $t=\{\begin{array}{ll}x/3,& x\ge 0,\\ x,& x<0.\end{array}$ 于是
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{3}\sin \frac{x}{3},& x\ge 0,\\ -x\sin x,& x<0.\end{array}$$

连续性与一阶导： $f(x)$ 在 $x\ne 0$ 处连续，且 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0=f(0)$，故 $f$ 连续。由定义 $f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x\sin x}{x}=0$，$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x}{3}\sin \frac{x}{3}}{x}=0$，故 $f^{\prime }(0)=0$（选项 A 错）。

当 $x<0$ 时 $f^{\prime }(x)=-\sin x-x\cos x$；当 $x>0$ 时 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\left(\sin \frac{x}{3}+\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\right)$。两侧极限均为 $0=f^{\prime }(0)$，故 $f^{\prime }(x)$ 连续（选项 B 错）。

二阶导： 由定义
$$f_{-}^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\sin x-x\cos x}{x}=-(1+1)=-2,$$
$$f_{+}^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{3}\left(\sin \frac{x}{3}+\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\right)}{x}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{9}.$$
由于 $f_{-}^{\prime \prime }(0)\ne f_{+}^{\prime \prime }(0)$，故 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在。因此 $f^{\prime }(x)$ 连续、$f^{\prime \prime }(0)$ 不存在，应选 C。