2023 年考研数学（一） 第 2 题

常系数齐次方程的“有界”问题，破题点是把它翻译成对特征根的要求。指数因子 $e^{\alpha x}$ 只要实部 $\alpha \ne 0$ 就会在某一端爆掉，$x{e}^{\lambda x}$ 也无界，唯一两端都有界的通解形如 $C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x$；这要求特征根为纯虚数，即实部 $-\frac{a}{2}=0$ 且 $\Delta <0$，从而定出 $a,b$ 的符号。

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程解的结构。 由于齐次方程必有零解（有界），题目实质是要求该方程的所有解都在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有界。特征方程为 ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$。

判别式 $\Delta =a^2-4b>0$： 有两个不同实根 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$，至少一个非零，通解含 $e^{\lambda x}(\lambda \ne 0)$，在 $(-\infty ,+\infty )$ 上无界。

$\Delta =0$： 有二重实根 $\lambda$，通解含 $x{e}^{\lambda x}$，无界。

$\Delta <0$： 有一对共轭复根 ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm \beta i$，其中 $\alpha =-\frac{a}{2}$，通解为 $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$。当 $\alpha \ne 0$ 时 $e^{\alpha x}$ 无界；只有当 $\alpha =0$（即 $a=0$）时，$y=C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x$ 对任意常数都有界。

于是需 $a=0$，再由 $\Delta =a^2-4b=-4b<0$ 得 $b>0$。因此 $a=0,b>0$，应选 C。