2023 年考研数学（一） 第 1 题

识别信号就是“斜渐近线”四个字，直接套 $k,b$ 两步极限的定义即可，无需画图。难点在第二步 $b=\lim x[\ln (e+\frac{1}{x-1})-1]$ 是 $\infty \cdot 0$ 型：想到把常数 $1=\ln e$ 吸收进对数、再用 $\ln (1+u)\sim u$ 线性化，极限便水落石出。

本题考查曲线斜渐近线的计算。 若 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=k\ne 0$，$\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-kx]=b$，则 $y=kx+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线。

先求斜率：
$$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)=\ln e=1.$$

再求截距：
$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }x\left[\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-1\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }x\left[\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-\ln e\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }x\ln \left(1+\frac{1}{e(x-1)}\right).$$
由 $\ln (1+u)\sim u(u\to 0)$ 得
$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }x\cdot \frac{1}{e(x-1)}=\frac{1}{e}.$$

因此斜渐近线方程为 $y=x+\frac{1}{e}$，应选 B。