2023 年考研数学（一） 第 6 题

破题先看“便宜”的判据：对称矩阵、特征值互异都直接可对角化，能秒杀多数选项。矛盾只可能出在重特征值上，于是集中火力算 $r(\lambda E-A)$——几何重数小于代数重数者，就是那个不可对角化的矩阵。

本题考查矩阵可对角化的判定。 $n$ 阶矩阵可对角化的充要条件是有 $n$ 个线性无关的特征向量，即每个特征值的几何重数等于代数重数。

选项 B 的矩阵为实对称矩阵，必可正交对角化。选项 A、C、D 均为上三角矩阵，特征值为对角元：A 的特征值为 $1,2,3$（三个互异），必可对角化。

C、D 的特征值均为 $1,2,2$，其中 $2$ 是二重特征值。只需看特征值 $2$ 是否有两个线性无关的特征向量。
$$2E-A_C=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -a\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),2E-A_D=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -a\\ 0& 0& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

$r(2E-A_C)=1$，方程 $(2E-A_C)x=0$ 有 $3-1=2$ 个线性无关解，故 C 可对角化；$r(2E-A_D)=2$，只有 $3-2=1$ 个线性无关解，特征值 $2$ 只有一个特征向量，故 D 不可对角化。应选 D。