2023 年考研数学（一） 第 7 题

关键转化是把“公共向量”翻译成两种表示相等，得到齐次方程组 $({\alpha }_1,{\beta }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2)x=0$——它的解恰是配平两边系数的组合。求出基础解系后取 $\alpha$ 一侧系数回代即得 $\gamma$ 所在直线；作为选择题，直接代选项验证是否可被两组同时线性表示也很快。

本题考查向量的线性表示。 由 $\gamma$ 既可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 表示，也可由 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 表示，存在 $k_1,k_2,l_1,l_2$ 使 $\gamma =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=l_1{\beta }_1+l_2{\beta }_2$，故 $(k_1,-l_1,k_2,-l_2{)}^T$ 是齐次方程组 $({\alpha }_1,{\beta }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2)x=0$ 的解。

对 $A=({\alpha }_1,{\beta }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 1\\ 2& 5& 1& 0\\ 3& 9& 1& 1\end{array}\right)$ 作初等行变换，化为
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -3\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right),$$
取 $x_4=1$ 得基础解系 $\xi =(3,-1,-1,1{)}^T$，即 $(k_1,-l_1,k_2,-l_2{)}^T=k(3,-1,-1,1{)}^T$。

于是 $k_1=3k,k_2=-k$，
$$\gamma =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=3k\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)-k\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right),k\in \mathbb{R}.$$
应选 D。

另解： $\gamma$ 同时落在 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 张成的平面与 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 张成的平面上，故 $\gamma$ 与 $({\alpha }_1\times {\alpha }_2)\times ({\beta }_1\times {\beta }_2)$ 共线。算得 ${\alpha }_1\times {\alpha }_2=(-1,5,-3)$，${\beta }_1\times {\beta }_2=(5,7,-5)$，二者叉积 $=(-4,-20,-32)$，与 $(1,5,8)$ 共线，同样得 D。