2023 年考研数学（一） 第 8 题

带绝对值的期望，思路是“按符号分段拆绝对值再求和”。$X$ 取非负整数，$X-1$ 只在 $X=0$ 处为负，于是单独处理 $X=0$ 一项、其余用 $E(X)=1$ 和概率归一化去凑，核心是把 $\sum (k-1)P$ 拆成期望与总概率两块。

本题考查泊松分布的数字特征。 参数为 $\lambda$ 的泊松分布满足 $P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$，且 $E(X)=D(X)=\lambda$。这里 $\lambda =1$，故 $E(X)=1$。

于是 $|X-E(X)|=|X-1|=\{\begin{array}{ll}1,& X=0,\\ X-1,& X=1,2,\cdots .\end{array}$ 又 $P\{X=0\}=\frac{e^{-1}}{0!}=\frac{1}{e}$。

由数学期望定义，
$$E[|X-1|]=1\cdot P\{X=0\}+\sum _{k=1}^{\infty }(k-1)P\{X=k\}=\frac{1}{e}+\sum _{k=0}^{\infty }(k-1)P\{X=k\}-(0-1)P\{X=0\}$$
$$=\frac{1}{e}+[E(X)-1]+\frac{1}{e}=\frac{1}{e}+(1-1)+\frac{1}{e}=\frac{2}{e}.$$

因此 $E[|X-E(X)|]=\frac{2}{e}$，应选 C。