2023 年考研数学（一） 第 9 题

看到两个正态样本方差之比，直接指向 $F$ 分布的构造：两个独立卡方各除自由度再相除。陷阱在于 $Y$ 的方差为 $2{\sigma }^2$，标准化时 $S_2^2$ 要除以 $2{\sigma }^2$；相除后 ${\sigma }^2$ 约掉，多出的系数 $2$ 贴到 $S_1^2$ 上，自由度自然是 $(n-1,m-1)$。

本题考查正态总体样本方差的抽样分布与 $F$ 分布。 对正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本方差满足 $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$。

对两个样本分别有
$$\frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1),\frac{(m-1)S_2^2}{2{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(m-1),$$
注意 $Y$ 的总体方差为 $2{\sigma }^2$。

两样本独立，由 $F$ 分布定义 $F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2)$（$U,V$ 独立且分别服从 ${\chi }^2(n_1),{\chi }^2(n_2)$）得
$$\frac{\frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }^2}/(n-1)}{\frac{(m-1)S_2^2}{2{\sigma }^2}/(m-1)}=\frac{S_1^2/{\sigma }^2}{S_2^2/(2{\sigma }^2)}=\frac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1).$$

因此应选 D。