2023 年考研数学（一） 第 10 题

无偏估计的本质是让期望等于被估参数，于是核心计算落在 $E|X_1-X_2|$ 上。想到把差打包成一个正态变量 $Z\sim N(0,2{\sigma }^2)$，再用对称性和凑微分算出 $E|Z|$，最后令 $aE|Z|=\sigma$ 解出 $a$。

本题考查正态分布的性质与无偏估计。 无偏估计要求 $E(\hat{\sigma })=\sigma$。

$X_1,X_2$ 独立同分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，令 $Z=X_1-X_2$，则 $Z\sim N(0,2{\sigma }^2)$，其密度 $f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sqrt{2}\sigma }{e}^{-\frac{z^2}{4{\sigma }^2}}$。

$$E(|Z|)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|z|f(z)dz=2{\int }_0^{+\infty }\frac{z}{2\sqrt{\pi }\sigma }{e}^{-\frac{z^2}{4{\sigma }^2}}dz=\frac{1}{2\sqrt{\pi }\sigma }{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\frac{z^2}{4{\sigma }^2}}d(z^2)=\frac{1}{2\sqrt{\pi }\sigma }\cdot 4{\sigma }^2=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sigma .$$

于是 $E(\hat{\sigma })=aE(|Z|)=\frac{2a}{\sqrt{\pi }}\sigma$。令其等于 $\sigma$ 得 $\frac{2a}{\sqrt{\pi }}=1$，即 $a=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$，应选 A。