2023 年考研数学（一） 第 11 题

“等价无穷小求参数”的标准打法是泰勒展开后比较最低阶系数。先展 $g$ 发现它是二阶无穷小，那么 $f$ 就不能保留一次项（否则阶数不匹配），于是一次项系数为零；再令二次项系数相等，两条件恰好定出 $a,b$。

本题考查等价无穷小的概念（借助泰勒公式）。 $f(x)$ 与 $g(x)$ 等价无穷小即 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$。

在 $x=0$ 处展开到二阶：
$$f(x)=ax+b{x}^2+\left(x-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)\right)=(a+1)x+\left(b-\frac{1}{2}\right)x^2+o(x^2),$$
$$g(x)=\left(1+x^2+o(x^2)\right)-\left(1-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)\right)=\frac{3}{2}{x}^2+o(x^2).$$

由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$，$g(x)$ 是二阶无穷小，需 $f(x)$ 的一次项系数为 $0$、二次项系数与 $g$ 相同：$a+1=0$，$b-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。解得 $a=-1,b=2$。

因此 $ab=(-1)\times 2=-2$。