2023 年考研数学（一） 第 12 题

曲面切平面的通法是“化成 $F=0$、取梯度作法向量”。把显式的 $z=\cdots$ 搬成隐式 $F=x+2y+\ln (1+x^2+y^2)-z$ 后，对数项求导在原点处 $\frac{2x}{1+x^2+y^2}$ 直接归零，法向量十分干净，套点法式即得。

本题考查曲面的切平面。 记 $F(x,y,z)=x+2y+\ln (1+x^2+y^2)-z$，则曲面方程为 $F=0$，其在点处的法向量为 $\left(F_x,F_y,F_z\right)$。

$$\left(F_x,F_y,F_z\right)=\left(1+\frac{2x}{1+x^2+y^2},2+\frac{2y}{1+x^2+y^2},-1\right).$$
代入点 $(0,0,0)$ 得法向量 $(1,2,-1)$。

故切平面方程为 $(x-0)+2(y-0)-(z-0)=0$，即 $x+2y-z=0$。