2023 年考研数学（一） 第 13 题

关键观察是所求为“偶数下标”系数之和。先按余弦级数公式分部积分得 $a_n\propto (\cos n\pi -1)$，一旦下标取偶数 $2n$，$\cos 2n\pi -1=0$ 让每个 $a_{2n}$ 都为零——识别 $\cos n\pi =(-1{)}^n$ 的奇偶效应是本题的机关。

本题考查傅里叶系数的计算。 展开式为余弦级数（只含常数项与余弦项），说明 $f(x)$ 按偶函数延拓，周期 $2l=2$（即 $l=1$）。利用余弦级数系数公式计算 $a_n$。

当 $n\ge 1$ 时，
$$a_n=2{\int }_0^1(1-x)\cos n\pi xdx=-\frac{2}{n\pi }{\int }_0^{1}xd(\sin n\pi x)=\frac{2}{n\pi }{\int }_0^1\sin n\pi xdx=\frac{2}{n\pi }\cdot \left(-\frac{\cos n\pi x}{n\pi }\right){|}_0^1=\frac{-2}{n^2{\pi }^2}(\cos n\pi -1).$$

于是 $a_{2n}=\frac{-2}{(2n{)}^2{\pi }^2}(\cos 2n\pi -1)=\frac{-1}{2n^2{\pi }^2}(1-1)=0$。因此 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}=0$。