2023 年考研数学（一） 第 14 题

函数值未知，但给了“平移差” $f(x+2)-f(x)=x$，这提示用换元 $t=x-2$ 让 $[2,3]$ 与 $[0,1]$ 的积分通过该关系挂钩。再借 ${\int }_0^{2}f=0$ 把 ${\int }_0^{1}f$ 与 ${\int }_1^{2}f$ 互换符号，两块一拼恰好凑出 ${\int }_1^{3}f$，全程不必求出 $f$ 本身。

本题考查定积分的性质与换元积分法。 注意到 ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(t+2)dt$（令 $t=x-2$）。

由 $f(x+2)-f(x)=x$ 得
$${\int }_2^{3}f(x)dx-{\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1[f(x+2)-f(x)]dx={\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}.(\ast )$$

又 ${\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx=0$，故 $-{\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_1^{2}f(x)dx$。代入 $(\ast )$ 得
$${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^{3}f(x)dx-{\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{2}.$$