2023 年考研数学（一） 第 15 题

先验算内积，发现 ${\alpha }_i$ 两两正交，这把原本要解 $3\times 3$ 方程组的问题瞬间解耦：正交性让 ${\gamma }^T{\alpha }_i$ 只留下 $k_i\Vert {\alpha }_i{\Vert }^2$ 一项，三个方程各自独立、直接读出 $k_i$。识别隐藏的“正交”结构是关键。

本题考查向量的内积与正交。 计算可知 ${\alpha }_1^T{\alpha }_2={\alpha }_2^T{\alpha }_3={\alpha }_3^T{\alpha }_1=0$，即 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 两两正交，且 $\Vert {\alpha }_i{\Vert }^2=3(i=1,2,3)$。

由正交性，${\gamma }^T{\alpha }_i=(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3{)}^T{\alpha }_i=k_i\Vert {\alpha }_i{\Vert }^2=3k_i$。又计算得 ${\beta }^T{\alpha }_1=1,{\beta }^T{\alpha }_2=-3,{\beta }^T{\alpha }_3=-1$。

由 ${\gamma }^T{\alpha }_i={\beta }^T{\alpha }_i$ 得 $3k_1=1,3k_2=-3,3k_3=-1$，即 $k_1=\frac{1}{3},k_2=-1,k_3=-\frac{1}{3}$。

因此 $k_1^2+k_2^2+k_3^2=\frac{1}{9}+1+\frac{1}{9}=\frac{11}{9}$。