2023 年考研数学（一） 第 16 题

求 $P\{X=Y\}$ 的通法是“按公共取值枚举 $+$ 独立性拆积”。这里 $X$ 只有 $0,1$ 两个值，$X=Y$ 的情形被限死在 $\{0,0\}$ 与 $\{1,1\}$，逐一用独立性相乘再求和即可，注意别把 $Y=2$ 混进来。

本题考查二项分布的分布律与独立性。 二项分布 $B(n,p)$ 的分布律为 $P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$。

由 $X\sim B\left(1,\frac{1}{3}\right)$：$P\{X=0\}=\frac{2}{3},P\{X=1\}=\frac{1}{3}$。

由 $Y\sim B\left(2,\frac{1}{2}\right)$：$P\{Y=0\}=\frac{1}{4},P\{Y=1\}=\frac{1}{2},P\{Y=2\}=\frac{1}{4}$。

$X$ 只取 $0,1$，由独立性
$$P\{X=Y\}=P\{X=0\}P\{Y=0\}+P\{X=1\}P\{Y=1\}=\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}.$$