2023 年考研数学（一） 第 17 题

几何条件“切线截距等于到 $y$ 轴距离”要先翻译成含 $y^{\prime }$ 的方程：截距 $y-x{y}^{\prime }$ 等于 $x$，自然得到一阶线性 ODE。第二问的信号是 $f$ 由变限积分定义，故 $f^{\prime }=y$，把最值问题化为对 $y(x)$ 求驻点、判号，最后用分部积分算出极大值。

本题综合考查一阶线性微分方程的几何应用与一元函数的最值问题。

（Ⅰ） 点 $P(x,y)$ 处切线方程为 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$。令 $X=0$ 得切线在 $y$ 轴上的截距 $Y=y-x{y}^{\prime }$。又 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 $|x|=x(x>0)$。由题意 $x=y-x{y}^{\prime }$，整理得一阶线性方程
$$y^{\prime }-\frac{y}{x}=-1.$$

由通解公式
$$y=e^{\int \frac{1}{x}dx}\left[\int (-1)e^{-\int \frac{1}{x}dx}dx+C\right]=x\left(-\int \frac{1}{x}dx+C\right)=x(C-\ln x).$$
代入 $x=1,y=2$ 得 $C=2$。因此 $y(x)=x(2-\ln x)$。

（Ⅱ） 由（Ⅰ），$f(x)={\int }_1^{x}t(2-\ln t)dt$。由变限积分求导 $f^{\prime }(x)=x(2-\ln x)$。令 $f^{\prime }(x)=0$（$x>0$）得 $2-\ln x=0$，即 $x=e^2$，为唯一驻点。当 $0<x<e^2$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 单调增；当 $x>e^2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f$ 单调减。故 $x=e^2$ 为最大值点。

最大值为
$$f(e^2)={\int }_1^{e^2}t(2-\ln t)dt=\frac{1}{2}{\int }_1^{e^2}(2-\ln t)d(t^2)=\frac{1}{2}{t}^2(2-\ln t){|}_1^{e^2}-\frac{1}{2}{\int }_1^{e^2}{t}^2\cdot \left(-\frac{1}{t}\right)dt$$
$$=\frac{1}{2}[0-2]+\frac{1}{2}{\int }_1^{e^2}tdt=-1+\frac{1}{4}{t}^2{|}_1^{e^2}=-1+\frac{1}{4}(e^4-1)=\frac{1}{4}{e}^4-\frac{5}{4}.$$