2023 年考研数学（一） 第 18 题

二元极值的标准流程是“求驻点 $\to$ $AC-B^2$ 判定”。本题考点在于 $(0,0)$ 处判别式为零、充分条件失效，此时回到极值定义，用两条特殊路径让 $f$ 在原点邻域内既取正值又取负值，从而否定它是极值点——这正是命题人埋的坑。

本题考查二元函数的无条件极值。 先求驻点，再用充分条件（$AC-B^2$）判定；对失效的驻点用定义讨论。

求驻点。 展开 $f=y^2-(x^2+x^3)y+x^5$，
$$f_x^{\prime }=5x^4-3x^{2}y-2xy=x(5x^3-3xy-2y),f_y^{\prime }=2y-x^3-x^2.$$
由 $f_y^{\prime }=0$ 得 $y=\frac{x^2(x+1)}{2}$，代入 $f_x^{\prime }=0$ 整理得 $x^3(x-1)(3x-2)=0$，故 $x=0,1,\frac{2}{3}$。对应驻点为 $(0,0),(1,1),\left(\frac{2}{3},\frac{10}{27}\right)$。

二阶偏导。 $f_{xx}^{\prime \prime }=20x^3-6xy-2y=2(10x^3-3xy-y),f_{xy}^{\prime \prime }=-3x^2-2x,f_{yy}^{\prime \prime }=2$。记 $A=f_{xx}^{\prime \prime },B=f_{xy}^{\prime \prime },C=f_{yy}^{\prime \prime }$。

点 $(0,0)$： $A=0,B=0,C=2$，$AC-B^2=0$，充分条件失效。由 $f(0,0)=0$：取 $y=2x^2$，当 $x$ 为充分小正数时 $f=(2x^2-x^2)(2x^2-x^3)=x^4(2-x)>0$；取 $y=2x^3$ 时 $f=(2x^3-x^2)(2x^3-x^3)=x^5(2x-1)<0$。故 $(0,0)$ 任意邻域内 $f$ 既取正值又取负值，$(0,0)$ 不是极值点。

点 $(1,1)$： $A=2(10-3-1)=12,B=-3-2=-5,C=2$，$AC-B^2=24-25=-1<0$，不是极值点。

点 $\left(\frac{2}{3},\frac{10}{27}\right)$： $A=\frac{100}{27},B=-\frac{8}{3},C=2$，$AC-B^2=\frac{200}{27}-\frac{64}{9}=\frac{8}{27}>0$，且 $A>0$，故为极小值点。极小值
$$f\left(\frac{2}{3},\frac{10}{27}\right)=\left(\frac{10}{27}-\frac{4}{9}\right)\left(\frac{10}{27}-\frac{8}{27}\right)=\left(-\frac{2}{27}\right)\cdot \frac{2}{27}=-\frac{4}{729}.$$

综上，$f(x,y)$ 有极小值 $f\left(\frac{2}{3},\frac{10}{27}\right)=-\frac{4}{729}$，无极大值。