2023 年考研数学（一） 第 19 题

封闭外侧曲面加光滑被积函数，是高斯公式的典型信号。转成三重积分后，先用区域关于 $y$ 的对称性砍掉两个奇项、只剩 $2z$；再借投影与 $x$ 的奇偶性把 $(1-x{)}^2$ 里的 $-2x$ 消掉，极坐标一算即得。全程靠对称性省去大量计算。

本题考查高斯公式与三重积分的计算。 $\Sigma$ 为封闭曲面外侧，被积函数在 $\Omega$ 上有一阶连续偏导数，直接用高斯公式转化为三重积分。

散度为 $\frac{\partial (2xz)}{\partial x}+\frac{\partial (xz\cos y)}{\partial y}+\frac{\partial (3yz\sin x)}{\partial z}=2z-xz\sin y+3y\sin x$，故
$$I=\underset{\Omega }{\iiint }(2z-xz\sin y+3y\sin x)dv.$$

$\Omega$ 关于 $zOx$ 面（即 $y\to -y$）对称，而 $xz\sin y$ 与 $3y\sin x$ 均为 $y$ 的奇函数，由对称性其积分为 $0$。于是
$$I=\underset{\Omega }{\iiint }2zdv.$$

采用先一后二（先对 $z$）的积分次序。$\Omega$ 在 $xOy$ 面上的投影为 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$，$z$ 从 $0$ 到 $1-x$，故
$$I=\underset{D}{\iint }dxdy{\int }_0^{1-x}2zdz=\underset{D}{\iint }(1-x{)}^{2}dxdy.$$

$(1-x{)}^2=1-2x+x^2$，其中 $-2x$ 在关于 $y$ 轴对称的 $D$ 上积分为 $0$，故
$$I=\underset{D}{\iint }(1+x^2)dxdy=\pi +\underset{D}{\iint }{x}^{2}dxdy=\pi +\frac{1}{2}\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)dxdy=\pi +\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1{r}^2\cdot rdr=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}.$$