2023 年考研数学（一） 第 20 题

结论里的 $\frac{1}{a^2}$ 与 $f^{\prime \prime }$ 都在暗示“泰勒展开到二阶”。选展开中心是关键：（Ⅰ）有 $f(0)=0$ 就在 $0$ 处展、相加消去一阶项；（Ⅱ）有极值就在极值点 $x_0$ 处展（那里 $f^{\prime }=0$）、相减得差。前者用介值定理落到一个 $\xi$，后者用 $|x_0|<a$ 放缩得到下界估计。

本题考查带拉格朗日型余项的泰勒公式及其应用。 设 $f(x)$ 在 $x=c$ 处的一阶泰勒公式为 $f(x)=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime }(\zeta )}{2}(x-c{)}^2$，$\zeta$ 介于 $x$ 与 $c$ 之间。

（Ⅰ） 在 $x=0$ 处展开，分别代入 $x=a$ 与 $x=-a$，并利用 $f(0)=0$：
$$f(a)=f^{\prime }(0)a+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }({\xi }_1)a^2,f(-a)=-f^{\prime }(0)a+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }({\xi }_2)a^2,$$
其中 ${\xi }_1\in (0,a),{\xi }_2\in (-a,0)$。两式相加得
$$f(a)+f(-a)=\frac{a^2}{2}[f^{\prime \prime }({\xi }_1)+f^{\prime \prime }({\xi }_2)].(1)$$

记 $M=\max \{f^{\prime \prime }({\xi }_1),f^{\prime \prime }({\xi }_2)\},m=\min \{f^{\prime \prime }({\xi }_1),f^{\prime \prime }({\xi }_2)\}$，由 $(1)$ 得 $m\le \frac{f(a)+f(-a)}{a^2}=\frac{1}{2}[f^{\prime \prime }({\xi }_1)+f^{\prime \prime }({\xi }_2)]\le M$。由 $f^{\prime \prime }$ 连续及介值定理，存在 $\xi \in [{\xi }_2,{\xi }_1]\subset (-a,a)$，使 $f^{\prime \prime }(\xi )=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$。

（Ⅱ） 设极值点为 $x_0\in (-a,a)$，则 $f^{\prime }(x_0)=0$。在 $x=x_0$ 处展开，代入 $x=a$ 与 $x=-a$：
$$f(a)=f(x_0)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }({\eta }_1)(a-x_0{)}^2,f(-a)=f(x_0)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }({\eta }_2)(a+x_0{)}^2,$$
其中 ${\eta }_1\in (x_0,a),{\eta }_2\in (-a,x_0)$。两式相减得
$$f(a)-f(-a)=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }({\eta }_1)(a-x_0{)}^2-\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }({\eta }_2)(a+x_0{)}^2.(2)$$

记 $M=\max \{|f^{\prime \prime }({\eta }_1)|,|f^{\prime \prime }({\eta }_2)|\}$，由 $(2)$ 及 $|x_0|<a$，
$$|f(a)-f(-a)|\le \frac{M}{2}[(a-x_0{)}^2+(a+x_0{)}^2]=\frac{M}{2}(2a^2+2x_0^2)\le \frac{M}{2}\cdot 4a^2=2a^{2}M.$$
故 $M\ge \frac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|$。取 $\eta \in \{{\eta }_1,{\eta }_2\}$ 使 $|f^{\prime \prime }(\eta )|=M$，则 $\eta \in (-a,a)$ 且 $|f^{\prime \prime }(\eta )|\ge \frac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|$。