2023 年考研数学（一） 第 21 题

（Ⅰ）把“$f$ 变到 $g$”拆成“$f$、$g$ 各自配方到公共规范形”，再用中间变量 $z$ 反解拼接 $P=P_1{P}_2^{-1}$，避免直接硬解矩阵方程。（Ⅱ）抓住“正交变换 $\Rightarrow$ 既合同又相似”这一升级要求，于是只需比较 $A,B$ 的特征值或迹：一旦迹不相等即可否定，四两拨千斤。

本题考查二次型的合同变换与正交变换。 记 $f,g$ 对应的对称矩阵分别为
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

（Ⅰ）用配方法。 对 $f$ 配方：
$$f=(x_1+x_2-x_3{)}^2+x_2^2+x_3^2+2x_2{x}_3=(x_1+x_2-x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2.$$
令 $z_1=x_1+x_2-x_3,z_2=x_2+x_3,z_3=x_3$，则可逆变换 $x=P_{1}z$ 将 $f$ 化为规范形 $h=z_1^2+z_2^2$，其中 $P_1=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

（Ⅰ）用配方法。 对 $f$ 配方：
$$f=(x_1+x_2-x_3{)}^2+x_2^2+x_3^2+2x_2{x}_3=(x_1+x_2-x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2.$$
令 $z_1=x_1+x_2-x_3,z_2=x_2+x_3,z_3=x_3$，则 $f=z_1^2+z_2^2$。要写出 $x=P_{1}z$，需把 $x$ 反解成 $z$ 的表达式：由下往上依次得
$$x_3=z_3,x_2=z_2-z_3,x_1=z_1-x_2+x_3=z_1-z_2+2z_3,$$
故
$$P_1=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

对 $g$ 配方：$g=y_1^2+(y_2+y_3{)}^2$。令 $z_1=y_1,z_2=y_2+y_3,z_3=y_3$，则 $g=z_1^2+z_2^2$，化成了与 $f$ 同一个规范形。同样反解 $y$：
$$y_3=z_3,y_2=z_2-z_3,y_1=z_1,$$
故
$$P_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),P_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$
这一步容易把 $P_2$ 与 $P_2^{-1}$ 写反：$z_2=y_2+y_3$ 是 $z$ 用 $y$ 表示，而矩阵 $P_2$ 要的是 $y$ 用 $z$ 表示，即 $y_2=z_2-z_3$，所以是 $-1$ 而不是 $+1$。

由 $x=P_{1}z$ 与 $y=P_{2}z$ 得 $z=P_2^{-1}y$，故 $x=P_1{P}_2^{-1}y$。计算
$$P=P_1{P}_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$
可逆变换 $x=Py$ 即将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化为 $g(y_1,y_2,y_3)$。（检验：$P^{\mathrm{T}}AP=B$，且 $|P|=1\ne 0$，确为可逆变换。）

由 $x=P_{1}z,y=P_{2}z$ 得 $z=P_2^{-1}y$，故 $x=P_1{P}_2^{-1}y$。计算
$$P=P_1{P}_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$
可逆变换 $x=Py$ 即将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化为 $g(y_1,y_2,y_3)$。

（Ⅱ）不存在。 若正交变换 $x=Qy$ 将 $f$ 化为 $g$，则 $y^{T}By=f=x^{T}Ax=y^T{Q}^{T}AQy$，故 $B=Q^{T}AQ$。又 $Q$ 正交，$Q^T=Q^{-1}$，于是 $B=Q^{-1}AQ$，即 $A$ 与 $B$ 相似。

但 $\mathrm{tr}(A)=1+2+2=5$，$\mathrm{tr}(B)=1+1+1=3$，两者的迹不相等（$A$ 的特征值为 $0,2,3$，$B$ 的特征值为 $0,1,2$），故 $A$ 与 $B$ 不相似。因此不存在正交变换 $x=Qy$ 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化为 $g(y_1,y_2,y_3)$。