2023 年考研数学（一） 第 22 题

这类题第一直觉是“用对称性偷懒”：圆盘关于两轴对称、$xy(x^2+y^2)$ 关于 $x$ 是奇函数，于是 $E(X)=E(Y)=E(XY)=0$，协方差立刻为零。独立性则看支撑——密度只在圆内非零而边缘乘积在整个方形非零，故不独立（恰好演示不相关推不出独立）。第三问因 $Z$ 是到原点距离的平方，用极坐标算 $F_Z(z)$ 最顺，求导得密度。

本题综合考查协方差、独立性以及随机变量函数的分布。 记 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$，$D$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴均对称。

（Ⅰ） 先求边缘密度。当 $|x|\le 1$ 时，
$$f_X(x)={\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{2}{\pi }(x^2+y^2)dy=\frac{4}{\pi }{\int }_0^{\sqrt{1-x^2}}(x^2+y^2)dy=\frac{4}{3\pi }\sqrt{1-x^2}(1+2x^2),$$
即 $f_X(x)=\frac{4}{3\pi }\sqrt{1-x^2}(1+2x^2)(|x|\le 1)$，否则为 $0$。同理 $f_Y(y)=\frac{4}{3\pi }\sqrt{1-y^2}(1+2y^2)(|y|\le 1)$。

由对称性，$f_X$ 为偶函数，$E(X)={\int }_{-1}^{1}x{f}_X(x)dx=0$（奇函数积分），同理 $E(Y)=0$；又
$$E(XY)=\underset{D}{\iint }xy\cdot \frac{2}{\pi }(x^2+y^2)dxdy=0$$
（被积函数关于 $x$ 为奇函数）。故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$。

（Ⅱ） 由（Ⅰ），$f_X(x)f_Y(y)\ne f(x,y)$（例如乘积在整个正方形上非零，而 $f$ 仅在单位圆内非零），故 $X$ 与 $Y$ 不相互独立。（注：此题中 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ 但不独立，说明不相关不能推出独立。）

（Ⅲ） 记 $Z=X^2+Y^2$ 的分布函数为 $F_Z(z)$，$D_z=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le z\}$。

当 $z<0$ 时，$F_Z(z)=0$。

当 $0\le z<1$ 时，$D\cap D_z=D_z$，
$$F_Z(z)=\underset{D_z}{\iint }\frac{2}{\pi }(x^2+y^2)dxdy=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\sqrt{z}}{r}^2\cdot rdr=\frac{2}{\pi }\cdot 2\pi \cdot \frac{r^4}{4}{|}_0^{\sqrt{z}}=z^2.$$

当 $z\ge 1$ 时，$F_Z(z)=1$。

因此 $F_Z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z<0,\\ z^2,& 0\le z<1,\\ 1,& z\ge 1,\end{array}$ 求导得概率密度
$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}2z,& 0<z<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$