2022 年考研数学（一） 第 9 题

关键是认清被「中心化」的随机变量是 $X_i^2$，故切比雪夫里的方差应是 $D\left(\frac{1}{n}\sum X_i^2\right)$，这正需要 $4$ 阶矩存在。用样本均值方差缩小 $n$ 倍的规律得分母含 $n$（而非 $\sqrt{n}$），并以 ${\mu }_4-{\mu }_2^2$ 表示单个 $D(X_i^2)$，即可锁定 A；B、C、D 分别在分母幂次或矩的下标上设置干扰。

本题考查切比雪夫不等式。 切比雪夫不等式：若 $E(Z)=\mu ,D(Z)={\sigma }^2$，则对任意 $\epsilon >0$，$P\{|Z-\mu |\ge \epsilon \}\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$。本题中 $Z=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$，需先求其期望与方差。

求期望。 由 $E(X_i^2)={\mu }_2$，
$$E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\right)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i^2)=\frac{1}{n}\cdot n{\mu }_2={\mu }_2.$$

求方差。 由 $X_1,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$X_1^2,\cdots ,X_n^2$ 相互独立，且 $D(X_i^2)=E(X_i^4)-[E(X_i^2){]}^2={\mu }_4-{\mu }_2^2$，故
$$D\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D(X_i^2)=\frac{1}{n^2}\cdot n({\mu }_4-{\mu }_2^2)=\frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n}.$$

代入切比雪夫不等式：
$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\mu }_2\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n{\epsilon }^2}.$$
应选 A。