2022 年考研数学（一） 第 8 题

这是方差线性组合的计算题，关键是牢记 $D(aX+bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$ 且常数不改变方差。识别两个分布对应的方差公式（均匀 $\frac{(b-a{)}^2}{12}$、泊松 $\lambda$）后按公式代入即可，唯一易错处是协方差前的系数 $2ab=2\cdot 2\cdot (-1)$ 的因子与符号。

本题考查方差的性质及常见分布的数字特征。 均匀分布 $U(a,b)$ 的方差为 $\frac{(b-a{)}^2}{12}$，参数为 $\lambda$ 的泊松分布方差为 $\lambda$。

由 $X\sim U(0,3)$ 得 $D(X)=\frac{(3-0{)}^2}{12}=\frac{3}{4}$；由 $Y$ 服从参数为 $2$ 的泊松分布得 $D(Y)=2$。又已知 $\mathrm{Cov}(X,Y)=-1$。

由方差性质（常数不影响方差），
$$D(2X-Y+1)=D(2X-Y)=D(2X)+D(Y)-2\mathrm{Cov}(2X,Y)=4D(X)+D(Y)-4\mathrm{Cov}(X,Y).$$

代入得
$$D(2X-Y+1)=4\times \frac{3}{4}+2-4\times (-1)=3+2+4=9.$$
应选 C。