2022 年考研数学（一） 第 7 题

等价的本质是相互线性表示，最好用秩来判定。算出两个三阶行列式后，非零区间上两组都满秩必等价，问题就缩小到几个使行列式为零的特殊 $\lambda$。对这些点单独验证：$\lambda =1$ 时四向量重合仍等价，$\lambda =-1,-2$ 时一组秩掉到 $2$、另一组仍为 $3$ 故不等价——「先排除一般情形、再逐个抠临界值」能避免盲目讨论。

本题考查向量组的等价与秩。 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$ 等价的充要条件是
$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4).$$

计算两个三阶行列式：
$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|=(1-\lambda {)}^2(\lambda +2),$$
$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & \lambda \\ 1& 1& {\lambda }^2\end{array}\right|=(1-\lambda {)}^2(1+\lambda {)}^2.$$

当 $\lambda \ne 1,-2,-1$ 时，两行列式均不为 $0$，此时 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$ 都是 $3$ 维向量组的极大无关组，秩均为 $3$，从而等价。

当 $\lambda =1$ 时，${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3={\alpha }_4=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，两向量组显然等价。当 $\lambda =-2$ 或 $\lambda =-1$ 时，两个行列式一个为 $0$、另一个不为 $0$，两向量组的秩不相等，故不等价。

综上，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$ 等价当且仅当 $\lambda \ne -2$ 且 $\lambda \ne -1$。应选 C。