2022 年考研数学（一） 第 6 题

分块方程的核心手法是用分块初等行变换把它拆成关于 $y_1,y_2$ 的独立方程组，再把「同解」条件当作 $A,B$ 解集可互换的桥梁。识别陷阱：同解只等价于解空间相同（秩相同），不能升级为秩的具体值（用 $A=B=O$ 排除 A、B），也不能传递到乘积（用反例排除 D）。唯 C 拆开后两侧都归结为「$A{y}_1=0,B{y}_2=0$」及其对称形式，凭同解条件即得。

本题考查线性方程组的同解与分块矩阵的初等变换。 记 $y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$，$y_1,y_2$ 均为 $n$ 维列向量。

验证选项 C。 对系数矩阵作分块初等行变换：
$$\left(\begin{array}{cc}E& -E\\ O& E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}E& -E\\ O& E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}B& A\\ O& A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}B& O\\ O& A\end{array}\right).$$
初等行变换不改变解集，故 $\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& B\end{array}\right)y=0$ 等价于 $\{\begin{array}{l}A{y}_1=0,\\ B{y}_2=0,\end{array}$ 而 $\left(\begin{array}{cc}B& A\\ O& A\end{array}\right)y=0$ 等价于 $\{\begin{array}{l}B{y}_1=0,\\ A{y}_2=0.\end{array}$

由于 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解，故 $A{y}_1=0⟺B{y}_1=0$，$B{y}_2=0⟺A{y}_2=0$，两个方程组的解集完全相同。故 C 正确。

排除 A、B。 两方程组同解只反映系数矩阵秩的大小关系，不能反映秩本身的大小。取 $A=B=O$，则 A、B 中系数矩阵均不满秩，方程组必有非零解，故 A、B 不成立。

排除 D。 同 C 的化简，$\left(\begin{array}{cc}AB& B\\ O& A\end{array}\right)y=0$ 等价于 $\{\begin{array}{l}AB{y}_1=0,\\ A{y}_2=0,\end{array}$ $\left(\begin{array}{cc}BA& A\\ O& B\end{array}\right)y=0$ 等价于 $\{\begin{array}{l}BA{y}_1=0,\\ B{y}_2=0.\end{array}$ 但 $ABx=0$ 与 $BAx=0$ 未必同解。取 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$（此时 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解），则 $AB=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，$ABx=0$ 与 $BAx=0$ 不同解，故 D 不成立。

综上，应选 C。