2022 年考研数学（一） 第 5 题

「充分不必要」类选择题的通法是把每个条件放进「$\Rightarrow$ 可对角化？」与「$\Leftarrow$ 可对角化？」两个方向逐一检验。特征值互异 $\Rightarrow$ 特征向量线性无关 $\Rightarrow$ 可对角化，正向成立；而单位矩阵说明可对角化并不要求特征值互异，故不必要，恰是所求。B 是充要条件，C 的「两两无关」弱于「整体无关」，D 是实对称矩阵的性质，皆可据此排除。

本题考查矩阵可相似对角化的条件。 所求为“充分但不必要”条件：由该条件能推出 $A$ 可对角化，但 $A$ 可对角化推不出该条件。

选项 A 是充分非必要条件。 若 $3$ 阶矩阵 $A$ 有 $3$ 个互不相等的特征值，则 $A$ 必有 $3$ 个线性无关的特征向量，从而可对角化（充分）；但 $A$ 可对角化并不要求特征值互异，例如 $3$ 阶单位矩阵 $E$ 本身就是对角矩阵，却只有三重特征值 $1$（不必要）。故 A 正确。

选项 B 是充分必要条件（$n$ 阶矩阵可对角化 $⟺$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量），不符合“不必要”。

选项 C 是必要非充分条件。 “两两线性无关”弱于“线性无关”。取 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$0$ 是三重特征值，${\xi }_1=(1,0,0{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_2=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 是两个线性无关的特征向量，取 ${\xi }_3=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 也是特征向量，则 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 两两线性无关，但三者线性相关，$A$ 不能对角化。

选项 D 既不充分也不必要。 属于不同特征值的特征向量正交是实对称矩阵的性质，与可否对角化无必然联系（可举可对角化但特征向量不正交、以及特征向量正交但不可对角化的反例）。

综上，应选 A。