2022 年考研数学（一） 第 4 题

看到「区间相同、只是被积函数不同」，就应放弃硬算积分，改用积分保序性：被积函数的大小顺序就是积分的大小顺序。比较对数与线性项时，构造差函数并看其导数符号是万能手法；再用 $\ln (1+x)<x$ 和 $\sin ,\cos$ 的粗略范围把三者串起来，比精确求值省力得多。

本题考查定积分比较大小。 三个积分区间相同（均为 $[0,1]$），故只需比较被积函数在 $(0,1)$ 上的大小。

比较 $I_1$ 与 $I_2$。 只需比较 $\frac{x}{2}$ 与 $\ln (1+x)$。令 $g(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{2}$，则 $g(0)=0$，$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}$。当 $x\in (0,1)$ 时 $g^{\prime }(x)>0$，故 $g$ 单调增，$g(x)>g(0)=0$，即 $\ln (1+x)>\frac{x}{2}$。两边同除以 $1+\cos x>0$ 得被积函数 $\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}>\frac{x}{2(1+\cos x)}$，故 $I_2>I_1$。

比较 $I_2$ 与 $I_3$。 同法可证在 $(0,1)$ 内 $\ln (1+x)<x$。又在 $(0,1)$ 内 $0<\sin x<1$，$1<1+\sin x<2$，故 $\frac{2x}{1+\sin x}>x$。而 $1+\cos x>1$，故 $\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}<\frac{x}{1+\cos x}<x$。于是
$$\frac{2x}{1+\sin x}>x>\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x},$$
即 $I_3>I_2$。

综上 $I_1<I_2<I_3$，应选 A。