2022 年考研数学（一） 第 3 题

破题信号是「复合函数极限反推内层」——能否反推取决于外层函数在内层取值范围上是否可逆（单调）。$\sin$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调、有连续反函数 $\arcsin$，故能取出内层极限；$\cos$ 在此区间不单调则不能。再用 $x_n=(-1{)}^n\frac{\pi }{2}$ 这个「值稳定但本身振荡」的反例，说明由 $\cos x_n$ 收敛推不出 $x_n$ 收敛，恰好落到 D。

本题考查数列极限与复合函数、反函数的关系。 关键是能否借助外层函数的反函数把内层数列的极限“取出来”。

分析选项 D。 设 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sin (\cos x_n)=a$。因 $x_n\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，故 $\cos x_n\in [0,1]\subset \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，而 $\sin t$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调且有反函数 $\arcsin t$（连续），于是
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\arcsin (\sin (\cos x_n))=\arcsin a$$
存在。故 D 的前半句成立。

但 $\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n$ 存在并不能保证 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 存在。例如取 $x_n=(-1{)}^n\frac{\pi }{2}$，则 $\cos x_n\equiv 0$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n=0$，但 $\{x_n\}$ 在 $\pm \frac{\pi }{2}$ 之间振荡，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 不存在。故 D 正确，B 错误。

排除 A、C。 由于 $\cos t$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上不单调（无反函数），$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos (\sin x_n)$ 存在并不能推出 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sin x_n$ 存在。仍取 $x_n=(-1{)}^n\frac{\pi }{2}$，则 $\cos (\sin x_n)=\cos ((-1{)}^n)=\cos 1$ 收敛，而 $\sin x_n=(-1{)}^n$ 与 $x_n$ 均不收敛。故 A、C 均不正确。

综上，应选 D。