2022 年考研数学（一） 第 2 题

选项只问 $f(1)$ 与 $f^{\prime }(1)$，诱使人直接代点，但抽象函数的点值往往要先求出 $f$ 的整体表达式。关键观察是 $z=xy\cdot f(y/x)$ 关于 $x,y$ 齐次，组合 $x{z}_x+y{z}_y$ 会让 $f^{\prime }$ 项相消、只剩 $2xyf(y/x)$；与右端对照即解出 $f(u)=\frac{1}{2}u\ln u$，$f(1),f^{\prime }(1)$ 随之而定。

本题考查多元复合函数的偏导数。 由 $z=xyf\left(\frac{y}{x}\right)$ 分别求偏导，再代入已知等式反解出 $f(u)$。

利用链式法则，
$$\frac{\partial z}{\partial x}=yf\left(\frac{y}{x}\right)+xy{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)\cdot (-\frac{y}{x^2})=yf\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y^2}{x}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right),$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}=xf\left(\frac{y}{x}\right)+xy{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)\cdot \frac{1}{x}=xf\left(\frac{y}{x}\right)+y{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right).$$

于是
$$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=2xyf\left(\frac{y}{x}\right).$$
与 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)=y^2\ln \frac{y}{x}$ 比较，得 $2xyf\left(\frac{y}{x}\right)=y^2\ln \frac{y}{x}$，即 $f\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{y}{2x}\ln \frac{y}{x}$。

因此 $f(u)=\frac{1}{2}u\ln u$，$f^{\prime }(u)=\frac{1}{2}(\ln u+1)$。代入 $u=1$ 得 $f(1)=0$，$f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$。应选 B。