2022 年考研数学（一） 第 1 题

看到「比值极限存在 + 分母趋于 0」的结构，应立刻反应出分子必趋于 0——这是把待求量凑成「已知比值 $\times$ 分母」的经典手法。同时要警惕：去心邻域内的一个极限条件不能升级为点处的连续性或可导性，因此凡断言 $f(1)$、$f^{\prime }(1)$、$\lim f^{\prime }(x)$ 的选项都要用反例证伪，而非想当然。

本题考查极限与导数的概念。 条件 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{\ln x}=1$ 仅能保证 $f(x)$ 在 $x=1$ 的某去心邻域内有定义且此极限存在，既不能保证 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，更不能保证可导。

当 $x\to 1$ 时 $\ln x\to 0$，而 $\frac{f(x)}{\ln x}\to 1$（极限有限），故
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }(\frac{f(x)}{\ln x}\cdot \ln x)=1\times 0=0.$$
故 B 正确。

选项 A、C 不成立：可举 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不连续（从而不可导）的例子，此时 $f(1)$、$f^{\prime }(1)$ 均无从谈起。

选项 D 也不成立。取
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1)+2(x-1{)}^2\sin \frac{1}{x-1},& x\ne 1,\\ 1,& x=1,\end{array}$$
则 $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=0$ 满足题设，但 $f(1)=1$，$f$ 在 $x=1$ 处不连续。当 $x\ne 1$ 时 $f^{\prime }(x)=1+4(x-1)\sin \frac{1}{x-1}-2\cos \frac{1}{x-1}$，$x=1$ 是 $f^{\prime }(x)$ 的振荡间断点，$\underset{x\to 1}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 不存在。

综上，应选 B。