2022 年考研数学（一） 第 10 题

题目给的是条件分布，直接求联合矩不便，应改用条件期望这座桥 $E(Y\mid X)=X$。由此 $E(XY)=E(X\cdot X)=E(X^2)=1$ 立得协方差；$D(Y)$ 则由方差分解拆成「条件均值的方差 + 条件方差的均值」$=D(X)+1=2$。把条件分布信息层层转化为无条件的数字特征，是这类题的核心思路。

本题考查条件分布与相关系数。 先由 $X$ 的密度及 $Y$ 在 $X=x$ 条件下的条件密度写出联合密度，再求 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ 与 $D(Y)$。

由 $X\sim N(0,1)$，$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$；由条件 $Y\mid X=x\sim N(x,1)$，$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-(y-x{)}^2/2}$。故联合密度
$$f(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-x^2+xy-\frac{y^2}{2}},$$
它是二维正态分布的密度。

计算数字特征。 由 $E(Y\mid X)=X$ 得 $E(Y)=E(X)=0$；又
$$E(XY)=E[XE(Y\mid X)]=E(X\cdot X)=E(X^2)=D(X)=1,$$
故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1$。

求 $D(Y)$。 由 $D(Y)=D[E(Y\mid X)]+E[D(Y\mid X)]=D(X)+1=1+1=2$（也可由联合密度求出 $Y\sim N(0,2)$）。

于是
$${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=\frac{1}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
应选 D。