2022 年考研数学（一） 第 11 题

看到「最大方向导数」就应直接调用「方向导数沿梯度方向取得最大值，且最大值为 $|\mathrm{grad}f|$」这一结论，避免逐个方向讨论。求出 $\mathrm{grad}f(0,1)=(0,4)$ 后取模得 $4$，整个过程只是一次梯度计算加求模。

本题考查方向导数与梯度的关系。 函数在一点处沿各方向的方向导数中，沿梯度方向的方向导数最大，其最大值等于该点梯度的模。

由 $\mathrm{grad}f(x,y)=(f_x,f_y)=(2x,4y)$，在点 $(0,1)$ 处 $\mathrm{grad}f(0,1)=(0,4)$。故最大方向导数为
$$|\mathrm{grad}f(0,1)|=\sqrt{0^2+4^2}=4.$$

故应填 $4$。